2, z = 4 Clculo de extremos relativos. Aqu hay algunos ejemplos donde se presentan funciones de varias variables: Ejemplo 1: de la posicin a la temperatura. y 1 + x , En los siguientes ejercicios, halle los puntos crticos de la funcin utilizando tcnicas algebraicas (completando el cuadrado) o examinando la forma de la ecuacin. x y x , (Federico Arnau Moya), Derecho Penal Parte Especial 21 Edicin 2017 (Muoz Conde), Teora Del Conocimiento (Snchez MecaDiego), Ejes De La Literatura Inglesa Medieval Y Renacentista (Cerezo Marta; De La Concha ngeles), Fundamentos De Psicobiologa (Abril Alonso Agueda Del; Ambrosio Flores Emilio; Blas Calleja M Rosario De; Caminero Gmez ngel A.; Garca Lecumberri Carmen; Pablo Gonzlez Juan Manuel De), O Contrato Social (Jean-Jacques Rousseau), Ciencias De La Tierra (Tarbuck Edwar J.; Lutgens Frederick K.), Historia De La Filosofa I (Guillermo Fraile), Derecho Mercantil (Roberto l. Mantilla Caballero y Jos Maria Abascal Zamora), La Edad Media: Siglos XIII-Xv (Donado Vara J.; Barquero Goi C.; Echevarra Arsuaga A. ; Creative Extremos relativos o locales. x = 20 0 obj y ) Identifique el punto del plano. + stream , Esta funcin tiene dos variables independientes (xyy)(xyy) y una variable dependiente (z).(z). y c , x + << /S /GoTo /D [2 0 R /FitH] >> , y x y Para determinar el ltimo punto crtico necesitamos saber el signo de. + 2. , , ; 2 2 y = Utilizando la estrategia de resolucin de problemas, el paso 11 consiste en hallar los puntos crticos de ff en su dominio. y ) y , ) 3 x ( 2, f , 2 y y y z + Si la desigualdad anterior se cumple para cada punto (x,y)(x,y) en el dominio de f,f, entonces ff tiene un mximo global (tambin llamado mximo absoluto) en (x0,y0).(x0,y0). c 4 = x 3 f z , = y herramienta de citas como, Autores: Gilbert Strang, Edwin Jed Herman. parciales (es decir, que existen) en un , 120 + y ) y = 2 2 Evale V(2 ,5)V(2 ,5) y explique lo que significa. x y = , 4 , + x Teorema: condicin suficiente de extremos relativos: Sean \(f\) una funcin de clase \(C^2\) en un abierto del plano que es entorno del punto \(a\), siendo \(a\) un punto crtico. 100 4 , x + extremo con respecto a los puntos cercanos. x ( + y + x y = x 4 Esta funcin tiene dos variables independientes (xyy) y una variable dependiente (z). Un paraboloide es el grfico de la funcin dada de dos variables. y x f (Derivadas parciales) Esta funcin tiene un punto crtico en x=0,x=0, dado que f(0)=3(0)2 =0.f(0)=3(0)2 =0. 2 y = ) x ; x + x y x x x x En este grfico, el origen es un punto de silla. 2 , ) y 2 x y ) f(x,y)=xyx3y;f(x,y)=xyx3y; RR es la regin triangular con vrtices (0,0),(0,4),y(5,0).(0,0),(0,4),y(5,0). ln 2 x , ) + X57UnBGKJSl%hyCg@:k"$Tb 2 Consulte el problema anterior. Definimos g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)): Esta funcin tiene un punto crtico en t=163,t=163, que corresponde al punto (0,163),(0,163), que est en el borde del dominio. ) /Filter /FlateDecode 2 = = z 2 en el dominio definido por 0x2 0x2 y 1y3.1y3. 3 ( = 2. 25 Teorema 1 | Demostracin 1 | Ejemplo 1 | Ejemplo 2 | Ejemplo 3 | Observaciones |. x x Definamos la cantidad. 2 x + El rango de gg es el intervalo cerrado [0,3].[0,3]. 4 x Utilizando los valores de cc entre 0y30y3 da lugar a otros crculos tambin centrados en el origen. e A estos candidatos los llamamos puntos crticos. ; x Describa las curvas de nivel para varios valores de cc por z=x2 +y2 2 x2 y.z=x2 +y2 2 x2 y. Halle la superficie de nivel de las funciones de tres variables y descrbala. , = La ganancia se mide en miles de dlares. x z z = f + /Annots [ 23 0 R 24 0 R 25 0 R 26 0 R 27 0 R 28 0 R 30 0 R 32 0 R 34 0 R ] = f , y 2 + y ; 0 Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin diferenciable de dos variables definida en un conjunto cerrado y delimitado D.D. ( , Las curvas de nivel siempre se grafican en el plano xy,xy, pero como su nombre indica, las trazas verticales se grafican en los planos xzxz o yz.yz. para todos los puntos (x,y)(x,y) dentro de un disco centrado en (x0,y0).(x0,y0). 3 x y 1 c 1, f x , cos ) + , f + Al igual que las funciones de una variable, las de varias variables tambin 4 ( ( W(x,y)=4x2 +y2 .W(x,y)=4x2 +y2 . z y + , f f ) = z 4 0 obj w y c = x f ( 2 x f ) ) x La determinacin del dominio de una funcin de dos variables implica tener en cuenta las restricciones de dominio que puedan existir. 4 3 z , x ( 3 2 ln x , + ( x El grfico de f(x,y)f(x,y) es tambin un paraboloide, y este paraboloide apunta hacia abajo como se muestra. A continuacin, elevamos al cuadrado ambos lados y multiplicamos ambos lados de la ecuacin por 1:1: Ahora, reordenamos los trminos, poniendo los trminos xx juntos y los trminos yy juntos, y aadimos 88 a cada lado: A continuacin, agrupamos los pares de trminos que contienen la misma variable entre parntesis, y factorizamos 44 del primer par: A continuacin, completamos el cuadrado en cada par de parntesis y aadimos el valor correcto al lado derecho: A continuacin, factorizamos el lado izquierdo y simplificamos el lado derecho: Por ltimo, dividimos ambos lados entre 16:16: Esta ecuacin describe una elipse centrada en (1,2).(1,2). ( g Desea citar, compartir o modificar este libro? Se dice que es un mximo local de si existe un entorno reducido de centro , en smbolos (), donde para todo elemento de se cumple () ().Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse () < ().. Anlogamente se dice que el punto es un mnimo local de si existe . 2 = x 0. 2 ( e 4.- Consideremos una placa circular de radio, 10.- Encontrar los puntos donde la funcin f(x, y) = x, Derecho de la empresa y del mercado (Esperanza Gallego Snchez), Lecciones de derecho civil I. , ) L3L3 es el segmento de lnea que une (0,25)y(50,25),(0,25)y(50,25), y se puede parametrizar mediante las ecuaciones x(t)=t,y(t)=25x(t)=t,y(t)=25 por 0t50.0t50. = 300 El mtodo para hallar el dominio de una funcin de ms de dos variables es anlogo al mtodo para funciones de una o dos variables. = f ) 2 + ejercicios y problemas resueltos con solucin de funciones de varias variables matemticas universidad UNED http://profesor10demates.blogspot.com.es/ 1, g z = , x 3, f y La curva de nivel correspondiente a c=2 c=2 se describe mediante la ecuacin. Esta aplicacin tambin es importante para las funciones de dos o ms variables, pero como hemos visto en secciones anteriores de este captulo, la introduccin de ms variables independientes conduce a ms resultados posibles para los clculos. , x z y 16 y Cada lnea de contorno corresponde a los puntos del mapa que tienen igual elevacin (Figura 4.7). = = e ( Hg1t1/jJX5#4G:.ObxQGx=s!f6)`;+tdXsPe ) = 2, f Evaluamos las derivadas parciales segundas en el punto crtico: Por tanto, el Hessiano en el punto crtico es. x ) y Adems, la traza vertical correspondiente a y=0y=0 es z=x2 z=x2 (una parbola que se abre hacia arriba), pero la traza vertical correspondiente a x=0x=0 es z=y2 z=y2 (una parbola que se abre hacia abajo). endobj 2 La temperatura TT en grados Celsius en un punto P(x,y)P(x,y) es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al origen. Salvo que se indique lo contrario, los libros de texto de este sitio 4, w = z(x,y)=y2 x2 ,z(x,y)=y2 x2 , c=1c=1, z(x,y)=y2 x2 ,z(x,y)=y2 x2 , c=4c=4, g 1wpA4"3[L w8|ACKQA Eo,z[c?j9,;BD"s)mk7+lq)MQ=FV;?L|Txq3FmpC~78;MW?2jECC4mWC\V{AqxAXda_Mu^DliPQ%]L,(c<3Q r# y Halle el dominio de las siguientes funciones. = Una caja de cartn sin tapa debe hacerse con un volumen de 44 pies3. , 2, g ; = , y + Considere la funcin f(x)=x3.f(x)=x3. x x ) 4 ( y ) x ) PROBLEMAS RESUELTOS 1 (continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables) PROBLEMA 1 Estudiar la continuidad de la funcin: 2 22 (,)(0,0) (,) 0(,)(0, xy xy fxy xy xy = + = 0) SOLUCIN Planteamos el estudio del lmite en el origen realizando un cambio a coordenadas polares: ( ) = + + ; 3 ( 2 y f El nmero mximo de pelotas de golf que se pueden producir y vender es 50000,50000, y el nmero mximo de horas de publicidad que se puede adquirir es 25.25. Utilice esta constante para determinar la temperatura en el punto Q(3,4).Q(3,4). x , Observe que en la derivacin anterior es posible que hayamos introducido soluciones adicionales al elevar al cuadrado ambos lados. + Por tanto, aplicando el teorema, se trata de un mximo relativo. = 2 2 ( ( , + ) y y En primer lugar, elegimos un nmero cualquiera en este intervalo cerrado, por ejemplo, c=2 .c=2 . y, f En los siguientes ejercicios, halle las trazas verticales de las funciones en los valores indicados de xx y y, y trace las trazas. 7 Expresar el volumen V de ese depsito en funcin del radio r del cilindro y de su altura h. - Determinar si las siguientes funciones son acotadas: z sen 2 x y1 x y cos x -ey z c)z x 2sen ex y y 2sen 22 xy - Hallar el dominio y la imagen o recorrido de las funciones: x 2 y2 9 f(x, y) = ln( xy 6) b) g(x,y) = . , x x 4 ( En los siguientes ejercicios utilice la Prueba de la segunda derivada para clasificar cualquier punto crtico y determine si cada punto crtico es un mximo, un mnimo, un punto de silla o ninguno de ellos. Lmite doble - Continuidad - Derivadas parciales - Derivadas sucesivas 03. ) Condiciones Suficientes para la existencia de extremos locales de funciones . = ) El conjunto DD se llama el dominio de la funcin. 36 = x c ) 2 Con todo ello, concluimos que el origen es un punto de silla. << /S /GoTo /D (subsection.5.1) >> y ( 2 (Funciones de varias variables) x y Recta Normal 05. que anulan las derivadas parciales. x ) = y , 2 y + Al anularse en el origen y ser creciente y decreciente a su izquierda y a su derecha, respectivamente, deducimos que la funcin es negativa (en un entorno del origen) sobre el eje OX. Un punto de silla es un punto donde el gradiente de la funcin es nulo. y para un valor arbitrario de c.c. y 2 x ( , = = y Las tres trazas en el plano xz xz son funciones de coseno; las tres trazas en el plano yz yz son funciones de seno. x 8, f , y y ) , y V + 2 %PDF-1.5 + + ( 3 ^_AG=.gY[">{ b@w^#?@$JNZPC/u\@?^qT%3T|-{k*s!5+$Hp?t1Ae aJ?B5 lxmX8VyAR"~5,yQhK("(1U1i8YfhFY(8"A? ( 62 Primero establezca x=4x=4 en la ecuacin z=senxcosy:z=senxcosy: Esto describe un grfico del coseno en el plano x=4.x=4. , x 1. , endobj y 2 y Verifique el grfico mediante tecnologa. x endobj y x x ( FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES [5.1] Hallar y representar grficamente las curvas de nivel de la funcin . 4 ( El nmero f(x0,y0)f(x0,y0) se denomina valor mximo local. En particular, si alguno de los extremos no se encuentra en el borde de D,D, entonces se encuentra en un punto interior de D.D. Por tanto, por la teora de mximos relativos para funciones de una variable, se tiene que f (x ,y ) 0 y f (x ,y ) 0. x 00 y 00 ==. , 3 , Unidad 2: Derivadas de funciones multivariables. /MediaBox [0 0 595.276 841.89] , Departamento de Fsica y Matemticas Matemticas - Grado en Biologa Hoja de problemas sobre funciones de ariasv ariables:v derivadas parciales, derivadas direccionales y gradiente. 2 2 y y = A menudo, la prueba de la segunda derivada puede determinar si una funcin de dos variables tiene un mnimo local (a), un mximo local (b) o un punto de silla (c). y x y x Considere una funcin z=f(x,y)z=f(x,y) con dominio D2 .D2 . ) , ) = 6` :lUZ*`}9 bD,mXBZC="[M~qx Op x g y Dibujar el grfico de una funcin de dos variables. = Cuando x=3x=3 y y=2 ,y=2 , f(x,y)=16.f(x,y)=16. + x 2, f 5 Si el lmite del conjunto DD es una curva ms complicada definida por una funcin g(x,y)=cg(x,y)=c para alguna constante c,c, y las derivadas parciales de primer orden de gg existen, entonces el mtodo de los multiplicadores de Lagrange puede ser til para determinar los extremos de ff en el borde. f :}O(9 D}I/_$ y&o*9>6_3^h )>'M/,Rd|_Y/x _V_qR__XAT)lsuaQ iQOREXU .#&+Oat?%IU1ipWRZcOWZ%+ffIQZ` A_ ? q +IR)y/:R 2 = Por tanto, el Hessiano en los puntos crticos es: Analizamos el signo de A en el tercer punto crtico: La funcin se anula en 0, por lo que tenemos que estudiar el signo de sta en un entorno de dicho punto (mtodo de las regiones). + 15 x 49 Dos de estos ejemplos son. 9 ( z 10 ) 2 y , 6 x x = 0. ; x Si calculamos f(24,0)f(24,0) da como resultado 576.576. y 5 , = , + Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables definida y continua en un conjunto abierto que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). + y , 2 0 x Cuando se trabaja con una funcin de dos variables, el intervalo cerrado se sustituye por un conjunto cerrado y delimitado. x IMPORTANTE Aqu resolver muy diversos ejercicios de mximos y mnimos (optimizacin) de funciones de varias variables (mximo y mnimo de superficies). 3 ) Halle las curvas de nivel para T=40C yT=100C,T=40C yT=100C, y describa lo que representan las curvas de nivel. 3 , c = + + y 2 ( Por lo tanto, es tanto un mximo global para una traza como un mnimo global para otra. La siguiente figura muestra dos ejemplos. z Echemos un vistazo. 3 Solucin: a) haz de circunferencias que pasan por el origen de coordenadas (sin incluir ste) y que tienen elcentro (1=lnk;0)sobre el ejeOXy radio 1=lnk, ms la rectax= 0. b) familia de hiprbolas equilterassituadas en los cuatro cuadrantes, ms los ejes de coordenadas. Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables definida en un conjunto abierto que contiene el punto (x0,y0).(x0,y0). El dominio de esta funcin es 0x500x50 y 0y250y25 como se muestra en el siguiente grfico. , +#Q_A~ n*TU^ , = 2 , , ( = /Type /XObject 2 x 10 ) 3 : +_3$_ty75SjM~{#sO ($`( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7. 2 Utilice la estrategia de resolucin de problemas para hallar los extremos absolutos de una funcin para determinar los extremos absolutos de cada una de las siguientes funciones: Utilice la estrategia de resolucin de problemas para hallar los extremos absolutos de una funcin para encontrar los extremos absolutos de la funcin. 8 f = = ( x ( y 36 Sustituir estos valores en la ecuacin y=32 x2 y=32 x2 da lugar a los puntos crticos (1,52 )(1,52 ) y (3,32 ). ( x ) ( ( y x ( x Un mximo ( mnimo) ) x 0 + z ( = 49 y 30 2 En los siguientes ejercicios, halle el dominio de la funcin. y Por lo tanto, los nicos valores posibles para los extremos globales de ff sobre DD son los valores extremos de ff en el interior o en el borde de D.D. = = + ( ; e y b) El volumen de una caja cbica es una funcin de la longitud de uno de sus lados. = x Otra herramienta til para entender el grfico de una funcin de dos variables se llama traza vertical. Entonces f tiene un mximo local en (x0,y0)(x0,y0) si. c x estn autorizados conforme a la, Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares, rea y longitud de arco en coordenadas polares, Ecuaciones de lneas y planos en el espacio, Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio, Diferenciacin de funciones de varias variables, Planos tangentes y aproximaciones lineales, Integrales dobles sobre regiones rectangulares, Integrales dobles sobre regiones generales, Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas, Clculo de centros de masa y momentos de inercia, Cambio de variables en integrales mltiples, Ecuaciones diferenciales de segundo orden, Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series. = x 2 Por lo tanto, el rango de f(x,y)f(x,y) es {z|z16}.{z|z16}. + ) 4 y ((DQ@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@]\Gim,HB d~f'Sj.~# S5 iAg?s.?NSQ^EPEP;'5KI(TE = 8 4 x 2 Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada pgina fsica la siguiente atribucin: Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la pgina digital la siguiente atribucin: Utilice la siguiente informacin para crear una cita. 4.12 Valores Extremos De Funciones De Varias Variables Uploaded by: JD Hernandez December 2019 PDF Bookmark This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. = + y x w = En primer lugar, tenemos que hallar los puntos crticos dentro del conjunto y calcular los valores crticos correspondientes. x 2 f = 3 y Al graficar una funcin y=f(x)y=f(x) de una variable, utilizamos el plano cartesiano. y ) ( , Entonces, es necesario hallar el valor mximo y mnimo de la funcin en el borde del conjunto. f y ( f c 2 ) Una traza vertical de la funcin puede ser el conjunto de puntos que resuelve la ecuacin f(a,y)=zf(a,y)=z para una constante dada x=ax=a o f(x,b)=zf(x,b)=z para una constante dada y=b.y=b. ) [T] f(x,y)=sen(x)sen(y),x(0,2 ),y(0,2 )f(x,y)=sen(x)sen(y),x(0,2 ),y(0,2 ). , y , 2 Supongamos que fx(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0 y fy(x0,y0)=0.fy(x0,y0)=0. 6 x , = El objetivo principal para determinar los puntos crticos es localizar los mximos y mnimos relativos, como en el clculo de una sola variable. 2 y x ( x x ( f 9 2 6 y f La funcin ff tiene un mnimo local en (x0,y0)(x0,y0) si. 2 , Otra restriccin es que ambos, xyyxyy deben ser no negativos. x 2 x ( z y ( z Halle los valores de xx como yy que maximizan la ganancia y halle la ganancia mxima. ) 2 Podemos graficar cualquier par ordenado (x, y) en el plano, y cada punto del plano tiene un par ordenado (x, y) asociado a l. 2 7 = ; = w = , = x 2 z y ) x Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License. = y x x ) x 1 y , y ) y , 16 y = x 4 f 9 2 /Filter /DCTDecode Para entender mejor el concepto de trazar un conjunto de triples ordenadas para obtener una superficie en el espacio tridimensional, imagine el sistema de coordenadas (x,y)(x,y) en plano. 3 x Al extender este resultado a una funcin de dos variables, surge un problema relacionado con el hecho de que hay, de hecho, cuatro derivadas parciales de segundo orden diferentes, aunque la igualdad de las parciales mixtas lo reduce a tres. x y x y y Halle las trazas verticales de la funcin f(x,y)=senxcosyf(x,y)=senxcosy correspondiente a x=4,0,y4,x=4,0,y4, y y=4,0,y4.y=4,0,y4. x x , La principal diferencia es que, en vez de aplicar valores de una variable a valores de otra variable, asignamos pares ordenados de variables a otra variable. Un hiperboloide de una hoja con algunas de sus superficies de nivel. x = ( endobj Diferencial de una funcin de dos variables - Diferenciales sucesivos 04-2. + << /S /GoTo /D [22 0 R /Fit] >> 1, f , z x x x f Si los excursionistas caminan por senderos escarpados, pueden utilizar un mapa topogrfico que muestre la inclinacin de los senderos. y A continuacin, definimos g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)): Si establecemos que g(t)=0g(t)=0 da lugar al punto crtico t=24,t=24, que corresponde al punto (24,0)(24,0) en el dominio de f.f.
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